Что такое фрактал?

Смысл традиционного определения фрактала дозволено объяснить следующим образом. Фрактал – это множество точек, хоть также никак не всякое множество является фракталом. Всякому множеству точек дозволено приписать некоторое, характеризующее его массивность число, называемое размерностью множества. В простых случаях размерность совпадает с числом координат, необходимых ради задания точки этого множества. Простые множества имеют целую размерность: отрезок – размерность 1, квадрат либо кружок – пару, куб – три. Но некоторые множества имеют дробную размерность. Их также называют фракталами (fraction – дробь).

В природе фракталов никак не существует, но некоторые объекты, характеризующиеся «нерегулярным поведением», дозволено успешно моделировать с подмогой фракталов. Как распознать фрактал, например, на плоскости? В принципе никак не сложно. Надо покрыть точки множества маленькими квадратами также посчитать их число, а потом посмотреть, как будто изменится количество квадратов в покрытии, ежели размер квадрата уменьшить вдвое. Если количество квадратов увеличится, например, в 3 либо в 2.75 раза, значит пред нами фрактал. Если вы нарисуете график изменения котировок какой-либо акции (временные интервалы промеж соседними барами должны существовать достаточно маленькими), то в некоторых практических ситуациях фракталы будут достаточно хорошими моделями ради такого графика. Как также всякая модель, фрактал описывает динамику котировок рассматриваемой акции лишь только приближенно. Чтобы точность приближения была удовлетворительной, нужно, дабы на графике было «много» баров, а самолично график вел себя «крайне нерегулярно». Конкретный смысл взятых в кавычки слов определяется условиями той практической задачи, которую предполагается разрешать.

По определению М. Чекулаева, фрактал – это совокупность пяти баров, расположенных «уголком» вверх либо вниз. С традиционным определением фрактала такое «определение» согласуется с трудом. Сказать, что пять – это немало, дозволено лишь только с весьма большой натяжкой. Разумеется также «нерегулярным» такое поведение котировок никак не назовешь. Фактически мы владеем две разные позиции: общепринятое определение фрактала (впервые его дал Б. Мандельброт]) также произвольное определение М. Чекулаева. Ссылки завершительного на Б. Мандельброта следует признать некорректными, а сами фракталы – как будто настоящие, так также фракталы в версии М. Чекулаева – следует рассматривать по отдельности. Ниже мы рассмотрим свойства фракталов в определении Б. Мандельброта, что представляется творцу более занимательным.

Принципы разбора рынка
Нам станет удобно начать издалека. Не задумывались ли вы о том, почему работают на практике методы технического анализа? Казалось бы, жизнь вечно разнообразна, каждый сутки меняются персонажи, мелькающие на околорыночном горизонте, появляются новые товары также целые отрасли производства, перекраиваются географические карты, а на графиках неизменно появляются одни также те же конфигурации. Почему такое возможно?

Прежде всего, заметим, что технический аналитик владеет занятие только с небольшим мимолетным отрезком графика котировок. Во-вторых, предположим, что базар предоставлен самому себе. В то время естественно вычислять, что на изменение параметров рынка существенное действие оказывают лишь только значения параметров в текущий момент поры и, отчасти, в никак не чрезвычайно дальнем прошлом. Если данные предположения выполняются, то динамику рынка дозволено описать системой дифференциальных уравнений. Известно, что, ежели рассматривать решение такой системы на маленьких мимолетных отрезках, то качественное разнообразие используемых уравнений невелико, также приблизительно прктически всегда решение системы станет похоже на одну из «типичных фигур». Набор этих фигур может зависеть от числа объективных параметров, характеризующих состояние рынка (прежде всего, это котировки), но, помимо того, на ход цен могут действовать также скрытые параметры вроде «превалирующих предпочтений», описанных Дж. Соросом в его «Алхимии финансов».

Последнее обстоятельство никак не позволяет пока что построить удовлетворительные количественные модели рынка, но никак не отрицает качественных способов его описания. Заметим, что решение дифференциального уравнения – гладкая функция, значит, также описываемая им динамика должна существовать гладкой. Однако ежели мы посмотрим достаточно подробный график котировок всякий акции либо валюты, у нас неизбежно создастся впечатление, что он «сильно изломан». Что же, описанная модель никак не владеет к действительности никакого отношения? На самом занятии, имеет. Тут уместна аналогичность с измерением длины береговой черты. При измерении мы выберем характерный масштаб (ширину фарватера) и, «срезая» более мелкие изгибы, заменим кривую отрезками прямой. Точно похоже следует поступать также в данном случае. Чем же определяется сей характерный масштаб при биржевой забаве? У каждого инвестора он свой, но все же кушать также объективные ограничения.

Первое – это регулярность получения информации данным оператором рынка. На сегодняшний сутки многие профессионалы имеют возможность приобретать информацию в режиме реального времени. Масштаб мимолетных интервалов промеж порциями новой информации достаточно мал. Более существенным фактором является «финансовое трение». Зачастую за совершение операций нужно выплачивать комиссионные. Кроме того, на всяком рынке кушать разность промеж котировками покупки также продажи. Поэтому, дабы операция «купил – продал» принесла реальную прибыль, нужно, дабы рост котировок был существенно больше, чем каждого рода «сопутствующие расходы». «Мелкими» колебаниями дозволено также нужно пренебречь. Таким образом, ежели ваш характерный масштаб никак не чрезвычайно мал, гладкая модель будет, скорее всего, отчуждать порядочный результат. Если же лишения прибыли от такого рода сглаживания ради вас чрезвычайно велики, начинается необходимость в альтернативном подходе, например, в использовании фрактальных моделей.

Образец фрактальной модели
Допустим, фундаментальные факторы, определяющие состояние рынка, достаточно продолжительно остаются неизменными (или меняются немного также медленно). В то время динамика котировок станет определяться нерегулярным противодействием никак не чрезвычайно существенных обстоятельств. Можно выдвинуть гипотезу (которая безусловно нуждается в проверке), что данные обстоятельства имеют случайный нрав. Простейшая модель наблюдаемого хода котировки станет представлять собой так называемое «одномерное броуновское движение». При этом предполагается, что изменение котировки за какой-то период поры кушать случайная размер с нормальным законом распределения, причем математическое ожидание этого изменения равно нулю (то кушать умножение столь же возможно, как будто также уменьшение), а дисперсия (разброс параметра) пропорциональна корню квадратному из длины рассматриваемого мимолетного интервала. При этом будущее ход котировки определяется текущими значениями параметра также никак не зависит от предыстории. Последнее свойство чаще всего владеет помещение в физических процессах. Можно предположить, что ради динамики котировок оно выполняется никак не чрезвычайно хорошо, хоть бы потому, что трейдеры в своих решениях ориентируются на предысторию. В качестве модели, учитывающей это обстоятельство, дозволено попытаться использовать «фрактальное броуновское движение».

Определяется оно как будто обычное броуновское ход с единственным отличием: дисперсия изменения котировки за пора t пропорциональна никак не корню квадратному от времени, т.е. t0.5, а пропорциональна t H, в каком месте H – какое-то число, заключенное промеж нулем также штукой. Оказывается, что при значениях H, отличных от одной другой, приращения котировки за пара соседних промежутка поры уже являются коррелированными, причем, ежели H больше половины, то корреляция положительна, а ежели меньше – отрицательна. Таким образом, ежели известно значение H, то с определенной достоверностью (которая тем больше, чем сильнее H отличается от одной второй) дозволено прогнозировать будущее изменение котировок на основе прошлых изменений. Встает задача, как будто найти значение H? Оказывается, что H связано с фрактальной размерностью графика котировок d формулой d=2-H. Размерность графика дозволено оценить, как будто мы описывали выше (покрывая его квадратами). Достаточно подробное изложение этой модели дозволено найти в книге Р. Кроновера. Там же приведены необходимые компьютерные алгоритмы. Это никак не значит, что предлагаемая модель гарантированно принесет вам прибыль, и, соответственно, никак не надобно разом бросаться программировать. Модель основана на ряде гипотез, наиболее существенные из которых сформулированы выше. Предварительно всего следует выяснить, выполняются ли данные гипотезы в вашем случае.

В качестве общих рекомендаций дозволено ориентироваться на следующие соображения. Долговременные тенденции определяются факторами, лежащими вне финансового рынка. По своему масштабу они наиболее значимы, поэтому в первую очередь следует учитывать их, а это – округ фундаментального анализа. Более спешные процессы, возникающие при смене долговременных тенденций, скорее всего, описываются гладкими моделями, вроде моделей классического технического анализа. И лишь только ежели вы имеете хотение также возможность учесть еще более тонкие эффекты, стоит обращаться к фрактальным моделям. При этом следует владеть в виду, что соответствующие модели существенно нелинейны, поэтому, дабы их правильно идентифицировать (то кушать определить значения всех параметров модели), требуется учесть при разборе значительные объемы информации.